മനുഷ്യനും സംഖ്യകളും

മനുഷ്യജീവിതവുമായി ആഴത്തില്‍ ഇഴുകിച്ചേര്‍ന്നിരിക്കുന്ന ശാസ്ത്രം ഒരുപക്ഷേ, ഗണിതശാസ്ത്രമായിരിക്കും. പ്രത്യേകിച്ചും സംഖ്യകള്‍/അക്കങ്ങള്‍. അതുകൊണ്ടായിരിക്കും ഗണിതശാസ്ത്രം ഇത്രമേല്‍ സങ്കീര്‍ണമായിത്തീര്‍ന്നത്. കൃത്യമായി എണ്ണി തിട്ടപ്പെടുത്താനാണ് അക്കങ്ങള്‍ പ്രധാനമായും ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ദിവസങ്ങള്‍, മാസങ്ങള്‍, വര്‍ഷങ്ങള്‍, അളവുകള്‍, തൂക്കങ്ങള്‍ എന്നുവേണ്ട ജീവിതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മേഖലകളിലെല്ലാം സംഖ്യകളുടെ സ്വാധീനം കാണാം. സംഖ്യകളില്ലാത്ത ഒരു ജീവിതം ഇന്ന് സങ്കൽപിക്കാനാവില്ല. മറ്റു ശാസ്ത്രശാഖകളെല്ലാം ഗണിത ശാസ്ത്രവുമായി അഭേദ്യമായ ബന്ധം പുലര്‍ത്തുന്നുണ്ട്. അതുകൊണ്ടാണ് ശാസ്ത്രങ്ങളുടെ രാജ്ഞി എന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്.
എന്നു മുതലാണ് മനുഷ്യന്‍ അക്കങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചു തുടങ്ങിയതെന്ന് കൃത്യമായി പറയാനാവില്ല. ഒരുപക്ഷേ, മനുഷ്യോത്പത്തിയോളം അതിനു പഴക്കമുണ്ടാവാം. ഉത്പത്തി മുതലേ അളവുകളും എണ്ണങ്ങളും അറിയേണ്ട സാഹചര്യങ്ങള്‍ മനുഷ്യനുണ്ടായിരുന്നു. അത് പ്രകടിപ്പിക്കാന്‍ പ്രത്യേകം രൂപവും ആവശ്യമായിരുന്നിരിക്കാം. ഗുഹാവാസികളായ പുരാതന മനുഷ്യര്‍ക്ക് ഗുഹകളുടെ വലുപ്പവും വിസ്തീര്‍ണവും എത്ര പേര്‍ക്ക് താമസിക്കാന്‍ കഴിയുമെന്നും നദിയുടെയും തടാകങ്ങളുടെയും വലുപ്പം അങ്ങനെ പലതും ആശയവിനിമയം നടത്തേണ്ടതുണ്ടായിരുന്നു, അറിയേണ്ടതുണ്ടായിരുന്നു. അക്കാലം മുതലേ, ഏതെങ്കിലും രൂപത്തിലുള്ള അക്കങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരിന്നിരിക്കാം. സമൂഹത്തില്‍ എപ്പോഴാണ് ഭാഷകള്‍ നിലവില്‍ വന്നത് എന്നതിന് പ്രത്യേക രേഖകളൊന്നുമില്ലാത്തതിനാല്‍ അക്കങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തിനും രേഖകളുണ്ടാവാന്‍ വഴിയില്ല. ഭാഷ ഉപയോഗിക്കാന്‍ തുടങ്ങിയതു മുതലേ അക്കങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചു തുടങ്ങിയിട്ടുണ്ടാകാമെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു.
എണ്ണാനായി ആദ്യമുപയോഗിച്ചത് ഒരുപക്ഷേ വിരലുകള്‍ തന്നെയായിരിക്കും. അതാണല്ലോ കണ്ടെത്താവുന്നതില്‍ വെച്ച് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ളത്. വിരലുകള്‍ക്കു പുറമെ മറ്റു പല വസ്തുക്കളും എണ്ണാന്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി പലയിടങ്ങളിലും കാണാം. മലയ ഗോത്രവിഭാഗം വിരലിലെണ്ണാവുന്നതിലപ്പുറമുള്ളത് എണ്ണിത്തിട്ടപ്പെടുത്താന്‍ കല്ലുകളാണ് ഉപയോഗിച്ചത്. പഴങ്ങളും കായകളും വിത്തുകളും എണ്ണാന്‍ ഉപയോഗിച്ചതായി കാണാം.
എഴുത്ത് ആരംഭിക്കുന്നതിന്റെ വളരെ മുമ്പു തന്നെ സംസാരം ആരംഭിച്ചിരുന്നല്ലോ. അതിനാല്‍ തന്നെ എണ്ണാന്‍ തുടങ്ങി കാലങ്ങള്‍ക്കു ശേഷമായിരിക്കും എണ്ണല്‍സംഖ്യകളുടെ എഴുത്തുരീതി കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ടാവുക. എഴുതപ്പെട്ട സംഖ്യകള്‍ ആദ്യമായി കണ്ടെത്തുന്നത് ഏകദേശം അയ്യായിരം വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു മുമ്പ് മെസൊപ്പൊട്ടാമിയയിലാണ്. ടാലികള്‍ അടയാളപ്പെടുത്തിയായിരുന്നു എഴുത്ത്. ഒന്നിന് ഒരു ടാലിയും രണ്ടിന് രണ്ട് ടാലിയും ആ രൂപത്തില്‍ ഒമ്പത് വരെ അടയാളപ്പെടുത്തി. പത്തിന് ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ “യു’ തിരിച്ചിട്ടതു പോലെ ഒരു ചിഹ്നവും ഉപയോഗിച്ചു.
രണ്ടു വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്ക് ശേഷം സുമേറിയക്കാര്‍ ടാലിയുടെ ആകൃതിയില്‍ ചില മാറ്റങ്ങള്‍ വരുത്തി. മുകള്‍ഭാഗം തടിച്ചതും താഴ്ഭാഗം മെലിഞ്ഞതുമായ പ്രത്യേക രൂപത്തിലാക്കി. പത്തിന് ടാലി വെര്‍ട്ടിക്കിളാക്കി അല്‍പം കൂടി തടിച്ചരൂപത്തില്‍ എഴുതി. ഇത് വ്യാപകമായി ആളുകള്‍ ഉപയോഗിച്ചു തുടങ്ങി. ബാബിലോണിയന്‍ വ്യാപാരികള്‍ അവരുടെ വാണിജ്യ റെക്കോര്‍ഡുകളിലെല്ലാം ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചു.
ഈജിപ്ഷ്യന്‍ സംസ്‌കാരങ്ങളിലും സംഖ്യകളുടെ എഴത്തുരൂപം കാണാനാവും. നൈല്‍ നദിക്കു സമീപം താമസിച്ചിരുന്ന അവര്‍ വ്യാപാരികളായിരുന്നു. വസ്തുക്കള്‍ പരസ്പരം കൈമാറുന്ന ബാര്‍ട്ടര്‍ സിസ്റ്റമായിരുന്നു നിലവിലുണ്ടായിരുന്നതെങ്കിലും കൃത്യമായി കണക്കുകള്‍ എഴുതിവെക്കേണ്ട ആവശ്യമുണ്ടായിരുന്നു. ജനങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിച്ചതോടെ എഴതിവെക്കേണ്ട കണക്കുകളും വര്‍ധിച്ചു. അതിനാല്‍ കൃത്യമായ സംഖ്യാ സിസ്റ്റം ആവശ്യമായി വന്നു. അത് ദശലക്ഷക്കണക്കിന് ആളുകളിലേക്ക് വ്യാപിച്ച ഒരു സംവിധാനത്തിന്റെ പിറവിയായി. ഓരോ എണ്ണത്തിനും പ്രത്യേകം ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി നിലവില്‍ വന്നു. ഇടത്തു നിന്ന് വലത്തോട്ടും വലത്തു നിന്ന് ഇടത്തോട്ടും എഴുതുന്ന രൂപങ്ങള്‍ അന്നുണ്ടായിരുന്നു.
ചൈനക്കാരും ജപ്പാന്‍കാരും സംഖ്യകളില്‍ വലിയ മോഡിഫിക്കേഷന്‍ വരുത്തി. വ്യത്യസ്തമായ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചു. സംഖ്യകള്‍ക്കു പകരം അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതിയാണ് ഗ്രീക്ക് റോമന്‍ അക്കങ്ങളില്‍ ഉപയോഗിച്ചത്. ഇംഗ്ലീഷ് അക്ഷരമാലയിലെ ഐ ഒന്നായും വി അഞ്ചായും എക്‌സ് പത്തായും എല്‍ അമ്പതായും സി നൂറായും ഡി അഞ്ഞൂറായും എം ആയിരമായും ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതിയാണ് റോമന്‍ സമ്പ്രദായം സ്വീകരിച്ചത്. അങ്ങനെ സംഖ്യാരീതി ഉപയോഗിച്ചതിനും ചില കാരണങ്ങളുണ്ട്. ഒന്നിനെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ഒരു വിരല്‍ ഉയര്‍ത്തുന്ന രീതിയാണ് സ്വീകരിച്ചത്. തള്ളവിരലും ചൂണ്ടുവിരലും കൂടെ വി ഷെയ് പിലാണല്ലോ നില്‍ക്കുന്നത്. അതിനര്‍ഥം കൈയിലെ വിരലുകളുടെ എണ്ണം അഥവാ അഞ്ച് എന്നാണ്. രണ്ടു കൈയും പരസ്പരം ക്രോസ് ചെയ്ത് പിടിക്കുമ്പോള്‍ രണ്ടു കൈയിലേയും വിരലുകളുടെ എണ്ണമാവുന്നു. ഇത്തരം കാരണങ്ങള്‍ അമ്പതിനും നൂറിനുമെല്ലാം ഉണ്ടായിരിക്കും. ഏകദേശം പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ യൂറോപ്പില്‍ റോമന്‍ സംഖ്യാരീതിയാണ് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. കൂട്ടാനും കുറയ്ക്കാനും ഈ രീതി ഏറെ സഹായകമായതാണു കാരണം.
എണ്ണം തുടങ്ങുന്നത് ഒന്നില്‍ നിന്നായതിനാല്‍ ഒന്നിന് മുമ്പ് എന്ത് എന്ന ചോദ്യത്തിന് ആദ്യകാലങ്ങളില്‍ പ്രസക്തിയുണ്ടായിരുന്നില്ല. പിന്നീട് ഒന്നുമില്ലാത്ത ശൂന്യാവസ്തയെ കാണിക്കാനുള്ള അക്കത്തെ കുറിച്ച് ആലോചനകള്‍ തുടങ്ങി. അതിന്റെ സൂചകമായി വ്യത്യസ്ത ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചു. യൂറോപ്പില്‍ പ്രശസ്തനായ ഗ്രീക്ക് ഫിലോസഫറായിരുന്ന എപ്പിക്‌റ്റേറ്റസാണ് ഈ ആലോചനകളുമായി കടന്നുവന്നത്. അവരുടെ സ്മരണയില്‍ എപ്പിക്റ്റസ് ചിഹ്നമാണ് അവരുപയോഗിച്ചത്. പിന്നീടാണ് ഇന്ത്യന്‍ ഗണിതശാസ്ത്ര സംഭാവനയായി പൂജ്യം വരുന്നത്. എ ഡി 500 ല്‍ അറബികളാണ് പൂജ്യത്തെ വൃത്ത/അണ്ഡാകൃതിയില്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങിയത്. അതുവരെ ഒരു കുത്തായിട്ടായിരുന്നു എഴുതിയിരുന്നത്.
പൂജ്യത്തിന്റെ വരവോടെ അക്ക സമ്പ്രദായത്തില്‍ വലിയ മുന്നേറ്റമുണ്ടായി. പൂജ്യം കണ്ടുപിടിച്ചത് ഇന്ത്യക്കാരനാണെന്നാണ് പരക്കെ അറിയപ്പെടുന്നത്. ബി സി 200 ല്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്‍ തന്റെ ഛന്ദസൂത്രത്തില്‍ പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നുവത്രെ. സംസ്‌കൃതത്തിലെ അറിയപ്പെടുന്ന പഴയ പദ്യരചനാശാസ്ത്ര പുസ്തകമാണ് ഛന്ദസൂത്രം. ഛന്ദഃശാസ്ത്രം എന്നും പേരുണ്ട്.
അക്ക സമ്പ്രദായത്തിന്റെ രാജാവായി പൂജ്യത്തെ വിശേഷിപ്പിക്കാം. പൂജ്യത്തിന്റെ വരവോടെ സംഖ്യാ സിസ്റ്റത്തില്‍ വലിയ മാറ്റങ്ങള്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ഒന്നില്‍ നിന്ന് തുടങ്ങിയിരുന്ന അക്കങ്ങള്‍ ഒന്നാവുന്നതിന്റെ മുമ്പ് ശൂന്യതയുണ്ടായിരുന്നുവെന്നറിയിക്കാന്‍ പൂജ്യത്തില്‍ നിന്ന് ആരംഭിച്ചു. ഒന്നു മുതല്‍ ഒമ്പതു വരെയുള്ള അക്കങ്ങളോടൊപ്പം ചേര്‍ന്ന് സംഖ്യയുടെ ഡിജിറ്റുകള്‍ വര്‍ധിച്ചതോടെ യൂറോപ്പും മറ്റും പ്രചാരത്തിലുണ്ടായിരുന്ന റോമന്‍ രീതി ഉപേക്ഷിച്ച് പുതിയ രീതിയിലേക്ക് മാറി.
അന്നത്തെ കച്ചവടങ്ങളില്‍ ബാര്‍ട്ടര്‍ സിസ്റ്റമായിരുന്നല്ലോ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. വസ്തുക്കളുടെ തൂക്കവും വലുപ്പവും നോക്കി പരസ്പരം കൂട്ടിയും കുറച്ചുമാണ് നല്‍കിയിരുന്നത്. ഇനി ബാക്കി ഒന്നുമില്ല എന്നര്‍ഥത്തില്‍ ശൂന്യം ഉപയോഗിക്കേണ്ട ആവശ്യം സ്വാഭാവികമായും വന്നു. അതായിരിക്കാം സാമൂഹ്യ രംഗങ്ങളില്‍ പൂജ്യത്തിന് ഇത്രമേല്‍ പ്രധാന്യം കിട്ടാന്‍ നിദാനം.
പൂജ്യത്തിന്റെ ഉപയോഗം വര്‍ധിച്ചതോടെ 1-9 വരെയുള്ള ഡിജിറ്റുകളും ശേഷം അതിനോട് പൂജ്യം ചേര്‍ത്ത് ഡിജിറ്റ് വര്‍ധിപ്പിക്കുന്ന രീതിയും വ്യാപകമായി. അതോടെ അതുവരെയുണ്ടായിരുന്നു അറുപത് ഡിജിറ്റ് സിസ്റ്റവും മായന്‍ ഗോത്രങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന ഇരുപത് ഡിജിറ്റ് സിസ്റ്റവും ആളുകള്‍ പാടെ ഒഴിവാക്കി. കൈയിലെയും കാലിലെയും ആകെ വിരലുകളാണല്ലോ ഇരുപത്. 1-19 വരെ ഒരൊറ്റ ഡിജിറ്റായും പിന്നീട് രണ്ട് ഡിജിറ്റായുമാണ് മായന്‍ ഗോത്രങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. അതേപോലെ തന്നെയാണ് അറുപത് ഡിജിറ്റ് സിസ്റ്റവും. 1-59 വരെ ഒറ്റ ഡിജിറ്റായും അറുപത് രണ്ടാം ഡിജിറ്റായും ഉപയോഗിച്ചു. ഇപ്പോഴും സമയങ്ങള്‍ക്ക് ഈ രീതി തന്നെയാണ് തുടരുന്നത്. 59 സെക്കന്റുകള്‍ കഴിഞ്ഞ് ഒരു മിനിറ്റും 59 മിനിറ്റ് കഴിഞ്ഞ് ഒരു മണിക്കൂര്‍ ആകുന്നതും നമുക്ക് സുപരിചിതമാണല്ലോ.
സംഖ്യാരീതിക്ക് അറബികള്‍ നല്‍കിയ വലിയ സംഭാവനയാണ് ഇന്നത്തെ സംഖ്യാരീതി. 0, 1, 2, 3 എന്ന് തുടങ്ങുന്ന ഈ അക്ക സമ്പ്രദായം അറബികളുടെ സംഭാവനയാണെന്ന് ഒരുപക്ഷേ, പലരിലും കൗതുകമുണര്‍ത്തും. കച്ചവടക്കാരായ അറബ് സമൂഹം ലോകത്തിന്റെ പല ദിക്കിലേക്കും സഞ്ചരിക്കുകയും കച്ചവടങ്ങളിലേര്‍പ്പെടുകയും ചെയ്തത് സുവിദിതമാണല്ലോ. തത്ഫലമായി അവരുടെ കൈയിലുള്ള സംഖ്യാ സമ്പ്രദായവും ലോകത്തിന്റെ പല ദിക്കിലേക്കും പരന്നു. ഏറ്റവും എളുപ്പവും സുതാര്യവുമായ ഈ സംഖ്യാരീതി ജനങ്ങളില്‍ വലിയ സ്വീകാര്യതയുണ്ടാക്കി. ആ രീതി ലോകത്തോളം വളര്‍ന്നു. ഇന്തോ-അറബിക് അക്കങ്ങളെന്നും ഇവ അറിയപ്പെടുന്നുണ്ട്. ഇതോടെ അറബ് അക്കങ്ങള്‍ സാധാരണ ഉപയോഗത്തിനും റോമന്‍, ചൈനീസ്, ഗ്രീക്ക് അക്കങ്ങള്‍ ഫോര്‍മല്‍ ആവശ്യങ്ങള്‍ക്കും ഉപയോഗിച്ചു. അറബിയില്‍ കാണുന്ന മറ്റൊരു അക്ക സമ്പ്രദായം കൂടെയുണ്ട്. അത് കിഴക്കന്‍ അറബ് നാടുകളില്‍ പ്രചാരത്തിലുണ്ടായിരുന്ന സമ്പ്രദായമായിരുന്നു. പിന്നീട് കിഴക്കന്‍ അറബ് അക്ക സമ്പ്രദായം അറബ് അക്കങ്ങളായും യഥാര്‍ഥ അറബ് അക്കങ്ങള്‍ പൊതു അക്കങ്ങളായും ജനങ്ങള്‍ മനസിലാക്കി.
എന്നാല്‍ ഈ അറബ് അക്കരീതി അറബികള്‍ കണ്ടെത്തിയതല്ലെന്നും ഇന്ത്യയില്‍ നിന്ന് കടംകൊണ്ടതാണെന്നും ചിലര്‍ അഭിപ്രായപ്പെടുന്നുണ്ട്. അതിന്റെ തെളിവായി അവര്‍ ഉദ്ധരിക്കുന്നത് എഴുത്തിന്റെ രീതിയാണ്. അറബി ഭാഷ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ടാണെഴുതാറ്. പക്ഷേ, ഈ അക്കങ്ങള്‍ ഇടത്തു നിന്ന് വലത്തോട്ടാണ് എഴുതുന്നത്. മധ്യകാല പണ്ഡിതനായ അബൂ ജഅ്ഫര്‍ മുഹമ്മദ് ബ്‌നു മൂസ അല്‍ ഖവാരിസ്മി തന്റെ ഗ്രന്ഥത്തില്‍ ഇന്ത്യന്‍ അക്കങ്ങള്‍ എന്ന പേരില്‍ ഈ അക്കരീതിയെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നുണ്ട്.
അറബ് അക്കസമ്പ്രദായത്തെ യൂറോപ്യന്മാര്‍ ഇരുകൈയും നീട്ടി സ്വീകരിച്ചു എന്ന് വിലയിരുത്തരുത്. യൂറോപ്യന്മാര്‍ക്ക് അറബ് നാടുകളുമായി ബന്ധമുണ്ടായിരുന്നു. അറബികളുടെ പല ശാസ്ത്രീയ നേട്ടങ്ങളും അവര്‍ കടമെടുത്തിരുന്നല്ലോ. അറബ് അക്ക സമ്പ്രദായത്തെ മനസിലാക്കാന്‍ ഈ ബന്ധം സഹായിച്ചു. സര്‍വകലാശാലകളില്‍ നിരവധി ഗവേഷണങ്ങളും പഠനങ്ങളും നടന്നു. റോമന്‍ അക്കരീതികളുടെ പ്രയോഗ പ്രയാസങ്ങള്‍ കാരണം അറബ് അക്കരീതികള്‍ ജനങ്ങള്‍ സ്വീകരിക്കുന്നത് അവര്‍ ഭയന്നു. പുതിയ അക്കരീതികളെ കുറിച്ച് ആലോചിച്ചു. 1299 ല്‍ ഫ്‌ലോറന്‍സില്‍ അറബ് സംഖ്യകള്‍ നിരോധിക്കുക വരെ ചെയ്തു. പക്ഷേ, അറബ് അക്കങ്ങളുടെ മേന്മകളും ഗുണങ്ങളും അവര്‍ പതുക്കെ തിരിച്ചറിഞ്ഞു. പതിനഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടോടെ പൂര്‍ണമായും യൂറോപ്പ് അറബ് അക്ക ഉപയോഗത്തിലേക്ക് വഴിമാറി ■